Let $F$ be a subfield of $\mathbb{Q}$. Then $F$ has the identity $1$, so $F$ contains $\mathbb{Z}$. Since $F$ is a field, for any nonzero $n\in\mathbb{Z}$, there is the inverse $\frac{1}{n}$ in $\mathbb{Q}$. Thus for every $\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$, where $p\in\mathbb{\mathbb{Z}}$ and $q\in\mathbb{Q}\setminus{0}$, $\frac{p}{q}=p\cdot \frac{1}{q}\in F$ and $F=\mathbb{Q}$.

$\pi$와 $e$가 무리수, 더 나아가 초월수라는 점은 잘 알려져 있습니다.¹ 그러나 $\pi+e$와 $\pi e$가 초월수이거나 무리수인지는 아직 밝혀지지 않았습니다. 그럼에도 불구하고, $\pi+e$와 $\pi e$ 중 하나가 초월수(transcendental number)임을 보일 수 있습니다.

이 포스트에는 무상으로 이용 가능한 수학 교재의 목록을 정리할 예정입니다. 가장 최근 업데이트된 날짜는 입니다.

$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$는 무한군이지만, 각 원소의 위수(order)는 유한입니다.

교환자부분군(commutator subgroup)에 대한 문제 하나를 풀어보았습니다.

위수 12인 군과 위수 24인 군은 단순군(simple group)이 아님을 알 수 있습니다.

합동식 $x^n\equiv 1\pmod p$의 해의 개수를 구하고 연관된 임용고시 문제를 풀어보았습니다.